Convexitate şi concavitate

Definiţie. 1. O funcţie \(f:I\rightarrow\mathbf R\), I interval real, se numeşte convexă pe intervalul I dacă
\(\forall x_{1}, x_{2}\in I, \forall t\in[0,1]\) are loc inegalitatea: \(f\left(\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right)\leq\left(1-t\right)f(x_{1})+tf(x_{2})\)

Definiţie. 2. O funcţie \(f:I\rightarrow\mathbf R\), I interval real, se numeşte concavă pe intervalul I dacă
\(\forall x_{1}, x_{2}\in I, \forall t\in[0,1]\) are loc inegalitatea: \(f\left(\left(1-t\right)x_{1}+tx_{2}\right)\geq\left(1-t\right)f(x_{1})+tf(x_{2})\)

Condiţie suficientă de convexitate
Teoremă. Fie \(f:[a,b]\rightarrow\mathbf R \), a<b o funcţie de două ori derivabilă pe [a,b].
1. Dacă \(f''(x)\geq 0, \forall x\in (a,b)\), atunci f este convexă pe [a,b].
2. Dacă \(f''(x)\leq 0, \forall x\in (a,b)\), atunci f este concavă pe [a,b].
Problema 16. Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate pentru funcţia $$f:\mathbf R\rightarrow\mathbf R,\;f(x)=x^{2}e^{x}.$$ Soluţia.
Avem \(f'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}\) şi \(f''(x)=(x^{2}+4x+2)e^{x}\).
Ecuaţia \(f''(x)=0\) are soluţiile \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{2}\).
Tabelul de semn pentru f":

x      |-∞            \(-2-\sqrt{2}\)       \(-2+\sqrt{2}\)     +∞ 
f"(x)| + + + + + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + + +

Pe intervalul \(\left(-\infty,-2-\sqrt{2}\right]\bigcup\left[-2+\sqrt{2},+\infty\right)\), f"(x)≥0, f este convexă
Pe intervalul \(\left[-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2}\right]\), f"(x)≤0, f este concavă.
Punctele \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{2}\) sunt puncte de inflexiune.
Mergi la început